Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-1．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

12

，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，从而可求得其最小正周期；
（2）x∈[-

π

12

，

π

2

]⇒2x-

π

6

[-

π

3

，

5π

6

]⇒sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]，从而可求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-1
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴函数f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-1的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，
∴2x-

π

6

[-

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
∴f（x）∈[-

3 +1

2

，

1

2

]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查正弦函数的周期性与单调性，属于中档题．