Question

已知函数f（x）=e^x-ax-b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为（　　）

• A、

  e

• B、e²
• C、e
• D、

  e

  2

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．

解答：解：f′（x）=e^x-a，
若a=0，则f（x）=e^x-b的最小值为f（-∞）=-b≥0，
得b≤0，此时ab=0；
若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，此时f（-∞）=-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，则得极小值点x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna）
ab≤a²（1-lna）=g（a）
现求g（a）的最大值：由g'（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得极大值点a=e

1

2

g（e

1

2

）=

e

2

所以ab的最大值为

e

2

，
故选：D．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．