Question

已知f（x）=

1

4

x⁴-

4

3

x³+2x²+a在x=x₁处取得极值2，则

∫

1 0

a2-t2

dt=（　　）

• A、π+

  3

  2

• B、π
• C、

  1

  3

  π+

  3

  2

• D、

  π

  3

  +

  3

  2

  或

  1

  9

  π+

  3

  2

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，确定函数取得极值的x，建立条件关系求出a，利用积分的几何意义即可求出结论．

解答：解：函数的导数为f′（x）=x³-4x²+4x=x（x²-4x+4）=x（x-2）²，
则当f′（x）＞0，得x＞0，
由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时函数取得极小值，也是唯一的极值，
∵f（x）在x=x₁处取得极值2，
∴x₁=0，即f（0）=2，
则f（0）=a=2，
则

∫

1 0

a2-t2

dt=

∫

1 0

4-t2

dt，
设y=

4-t2

，则t²+y²=4，（0＜t＜1），
则积分的几何意义为阴影部分的面积，
则A（1，

3

），则∠xOA=

π

3

，∠yOA=

π

6

，
则阴影部分的面积S=

1

2

×1×

3

+

1

2

×

π

6

×22=

3

2

+

π

3

，
故选：C

点评：本题主要考查导数的应用，以及积分的几何意义，根据导数求出函数的极值，确定a的值是解决本题的关键．