Question

定义“正对数”：ln+x=

0，0＜x＜1 lnx，x≥1

，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln⁺（a^b）=bln⁺a
②若a＞0，b＞0，则ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b
③若a＞0，b＞0，则ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b
④若a＞0，b＞0，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2
其中正确的命题有（　　）

• A、①③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、②③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：根据“正对数”概念，对①②③④逐个分析判断即可．

解答：解：∵定义“正对数”：ln+x=

0，0＜x＜1 lnx，x≥1

，
①当0＜a＜1，b＞0时，0=0^b＜a^b＜1^b=1，左=右=0；
当a＞1，b＞0时，a^b＞1，左端ln⁺（a^b）=lna^b=blna=右端，故①真；
②若0＜a＜1，b＞0时，ab∈（0，1），也可能ab∈（1，+∞），举例如下：ln⁺（

1

3

×2）=0≠ln2=ln⁺

1

3

+ln⁺2，故②错误；
③若0＜a＜b＜1，0＜

a

b

＜1，左端=0，右端=0，左端≥右端，成立；
当0＜a＜1≤b，0＜

a

b

＜1，ln⁺b=lnb≥0，左端=0，右端=0-lnb≤0，左端≥右端，成立；
当1≤a＜b时，ln⁺（

a

b

）=0，ln⁺a=lna，ln⁺b=lnb，左端=0≥lna-lnb=右端，成立；
同理可知，当0＜b＜a＜1，0＜b＜1≤a，1≤b＜a时，总有左端≥右端；
当0＜a=b时，左端=右端，不等式也成立；
综上，③真；
④若0＜a+b＜1，b＞0时，左=0，右端≥0，显然成立；
若a+b＞1，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2?ln⁺

a+b

2

≤ln⁺a+ln⁺b，成立，故④真；
综上所述，正确的命题有①③④．
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数的性质，考查新定义的理解与应用，突出考查分类讨论思想与综合运算、逻辑思维及分析能力，属于难题．