Question

已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2-4|x-

1

2

|；当x＞1时，f（x）=af（x-1），a∈R，a为常数．下列有关函数f（x）的描述：
①当a=2时，f(

3

2

)=4；    
②当|a|＜1，函数f（x）的值域为[-2，2]；
③当a＞0时，不等式f(x)≤2ax-

1

2

在区间[0，+∞）上恒成立；
④当-1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a^n-1（n∈N^*）在[0，n]内的交点个数为n-

1+(-1)n

2

．
其中描述正确的个数有（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：对于描述①，将a=2及x=

3

2

代入f（x）=af（x-1）中，再利用x∈[0，1]时的函数关系式，可得f(

3

2

)的值；
对于描述②，分“-1＜a＜0”，“a=0”，“0＜a＜1”三种情况，观察f（x）图象的最高点与最低点，可得函数的值域；
对于描述③，利用赋值法，可尝试给定a一个较大的值代入，即可否定；
对于描述④，先考虑n=1，2，3，4时的情形，由此发现规律，再用数学归纳法证明．

解答：解：由题意知，f(x)=

2-4|x- 1 2 |，0≤x≤1 af(x-1)，x＞1

．
在描述①中，由x＞1，将a=2及x=

3

2

代入f（x）=af（x-1）中，
得f(

3

2

)=2f(

3

2

-1)=2f(

1

2

)=2(2-4|

1

2

-

1

2

|)=4，可知描述①正确．
在描述②中，
（1）若0＜a＜1，当0≤x≤1时，f(x)=

4x，0≤x≤ 1 2 -4x+4， 1 2 ＜x≤1

，其图象是一条折线段，
当x＞1时，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，
且每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x轴距离的a倍，
由f(

1

2

)=2知，0≤f（x）≤2．其图象如图1所示．
（2）若a=0，则f(x)=

2-4|x- 1 2 |，0≤x≤1 0，x＞1

，此时亦有0≤f（x）≤2．
（3）若-1＜a＜0，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，每条折线段在x轴上下交替出现，
且从第二段起，每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x轴距离的|a|倍，
此时，-2＜f（x）≤2．其图象如图2所示．
综合（1），（2），（3）知，f（x）的值域为（-2，2]，所以描述②错．
在描述③中，取a=4⁴，x=

1

4

，则f(

1

4

)=2-4|

1

4

-

1

2

|=1，
而2ax-

1

2

=2×(44)

1

4

-

1

2

=

1

2

＜1，故描述③错．
在描述④中，由图2知，
当n=1时，f（x）的图象与直线y=2a^1-1即y=2在[0，1]内的交点个数为1，即1-

1+(-1)1

2

；
当n=2时，f（x）的图象与直线y=2a^2-1即y=2a在[0，2]内的交点个数为1，即2-

1+(-1)2

2

；
当n=3时，f（x）的图象与直线y=2a^3-1即y=2a²在[0，3]内的交点个数为3，即3-

1+(-1)3

2

；
当n=4时，f（x）的图象与直线y=2a^4-1即y=2a³在[0，4]内的交点个数为3，即4-

1+(-1)4

2

；
…
由此猜想：当-1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a^n-1（n∈N^*）在[0，n]内的交点个数为n-

1+(-1)n

2

．
现用数学归纳法证明之．
（1）由上可知，当n=1时，猜想成立．
（2）假设n=k时，猜想成立，即函数f（x）的图象与直线y=2a^k-1（k∈N^*）在[0，k]内的交点个数为k-

1+(-1)k

2

．
则当n=k+1时，如图2所示，若k为奇数，则交点个数与n=k时情形相同；
若k为偶数，则交点个数在n=k时的基础上增加2个，
所以当n=k+1时的交点个数在n=k时的基础上增加了1+（-1）^k个，
从而交点个数为k-

1+(-1)k

2

+1+(-1)k=k+1-

1-(-1)k

2

，得(k+1)-

1+(-1)k+1

2

，
即当n=k+1时，猜想也成立．
综合（1），（2）知，猜想成立，所以描述④正确．
故①④正确，选C．

点评：1．本题以绝对值函数为载体，考查了分段函数的解析式，值域及图象，尤其是图象间的平移与伸缩变换，考查了数形结合、分类讨论思想的运用与归纳推理能力．对分段函数问题，一般采取分段处理的方法，但“分段不分家”，应具备整体思想，必要时可画出图形结合分析．值得注意的是，在临界点处的情形应该谨慎对待．
2．要说明一个命题为真，必须有严密的逻辑推理；要说明一个命题为假，只需举一反例即可．