Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是正方形， 平面， 分别为的中点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥与四棱锥的体积之比.

Answer 1

【答案】（1）证明过程详见解析（2）证明过程详见解析；（3）1：4

【解析】

(1)由三角形中位线定理可得，由正方形的性质可得，，由线面平行的判定定理可得平面， 平面，从而可得结果；(2)由线面垂直的性质证明,正方形的性质可得，结合，可得平面，从而可得平面平面 ；(3)求出，则，得到平面，求出,即即为点到平面的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到比值.

(1)∵分别为的中点，

∴，

又∵四边形是正方形，

∴，∴，

∵在平面外， 在平面内，

∴平面， 平面，

又∵都在平面内且相交，

∴平面平面.

(2)证明：由已知平面，

∴平面.

又平面，∴.

∵四边形为正方形，∴，

又，∴平面，

在中，∵分别为的中点，

∴，∴平面.

又平面，∴平面平面.

(3)解：∵平面，四边形为正方形，，则.

∵平面，且，

∴即为点到平面的距离，

∴=