Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点， ，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于、两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）由已知得，又，即可得方程；

（2）设，则，由以为直径的圆经过坐标原点，得，即，由，消除整理得： ，结合韦达定理可得， ，讲条件带入求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）由已知得，又 ，

所以椭圆的方程为： ；

（Ⅱ）设，则，

由以为直径的圆经过坐标原点，得，

即（1）

由，消除整理得： ，

由，得，

而（2）

（3）

将（2）（3）代入（1）得： ，

即，

又，

原点到直线的距离，

，

把代入上式得，即的面积是为.