【题目】已知函数,其中
为自然对数底数.
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间;
(3)已知,若函数
对任意
都成立,求
的最大值.
【答案】(1)(2)当
时,函数
的单调递增区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.(3)
【解析】
试题分析:(1)根据导数几何意义可求切线斜率:,再根据点斜式求切线方程为
,即
.(2)利用导数求函数单调性,从导函数出发,研究其零点情况:
当
时,
,无零点,函数
在
上单调递增;当
时,由
得
,
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.(3)不等式恒成立问题转化为函数最值问题:
,当
时,函数
无最小值;当
时,函数
最小值为0,
,此时
;当
时,
,
,
,最后研究函数
最大值
试题解析:解:(1)当时,
,
,
, 2分
∴函数在点
处的切线方程为
,
即. 4分
(2)∵,
①当时,
,函数
在
上单调递增; 6分
②当时,由
得
,
∴时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
综上,当时,函数
的单调递增区间为
;当
时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
. 9分
(3)由(2)知,当时,函数
在
上单调递增,
∴不可能恒成立; 10分
当时,
,此时
; 11分
当时,由函数
对任意
都成立,得
,
∵,∴
13分
∴,
设,∴
,
由于,令
,得
,
,
当时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减.
∴,即
的最大值为
,
此时. 16分
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【题目】已知函数f(x)=lnax﹣ (a≠0).
(1)求此函数的单调区间及最值;
(2)求证:对于任意正整数n,均有1+ +
…+
≥ln
(e为自然对数的底数).
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【题目】如图,在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.
(1)求证:BD⊥FG;
(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由;
(3)当二面角B﹣PC﹣D的大小为 时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.
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【题目】某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号001,002,…,699,700.从中抽取70个样本,如图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第5个样本编号是( )
A.607
B.328
C.253
D.007
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期是π,若将其图象向右平移
个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x= 对称
B.关于直线x= 对称
C.关于点( ,0)对称
D.关于点( ,0)对称
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【题目】如图,已知椭圆,点B是其下顶点,过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在
轴下方),且线段AB的中点E在直线
上.
(1)求直线AB的方程;
(2)若点P为椭圆C上异于A、B的动点,且直线AP,BP分别交直线于点M、N,证明:OM·ON为定值.
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【题目】(本题满分16分)数列,
,
满足:
,
,
.
(1)若数列是等差数列,求证:数列
是等差数列;
(2)若数列,
都是等差数列,求证:数列
从第二项起为等差数列;
(3)若数列是等差数列,试判断当
时,数列
是否成等差数列?证明你的结论.
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【题目】已知函数f(x)=mex﹣x﹣1(其中e为自然对数的底数,),若f(x)=0有两根x1 , x2且x1<x2 , 则函数y=(e ﹣e
)(
﹣m)的值域为 .
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