Question

【题目】已知函数，其中为自然对数底数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；

（3）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）

【解析】

试题分析：（1）根据导数几何意义可求切线斜率：，再根据点斜式求切线方程为，即．（2）利用导数求函数单调性，从导函数出发，研究其零点情况：当时，，无零点，函数在上单调递增；当时，由得，时，，单调递减；时，，单调递增．（3）不等式恒成立问题转化为函数最值问题：，当时，函数无最小值；当时，函数最小值为0，，此时；当时，，，，最后研究函数最大值

试题解析：解：（1）当时，，，， 2分

∴函数在点处的切线方程为，

即． 4分

（2）∵，

①当时，，函数在上单调递增； 6分

②当时，由得，

∴时，，单调递减；时，，单调递增．

综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 9分

（3）由（2）知，当时，函数在上单调递增，

∴不可能恒成立； 10分

当时，，此时； 11分

当时，由函数对任意都成立，得，

∵，∴ 13分

∴，

设，∴ ，

由于，令，得，，

当时，，单调递增；时，，单调递减．

∴，即的最大值为，

此时． 16分