Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，
不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．
当x≥ 时，3x＞6．解得x＞2，
当x∈（1， ）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；
当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x ．
不等式的解集为：
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|
设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，
因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，
所以，f（x）max=|a﹣3|
即：|a﹣3|＜2
所以，a的取值范围为（1，5）
【解析】（Ⅰ）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可．（Ⅱ）设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，转化不等式为a的不等式，求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．