Question

7．设函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x-2018）³f（x-2018）+8f（-2）＞0的解集是（2016，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数：g（x）=x³f（x），可得g′（x）=x³f′（x）+3x²f（x）=x²[3f（x）+xf′（x）]≥0，即可解出不等式．

解答 解：构造函数：g（x）=x³f（x），
则g′（x）=x³f′（x）+3x²f（x）=x²[3f（x）+xf′（x）]≥0，
∴函数g（x）在R上单调递增，
不等式（x-2018）³f（x-2018）+8f（-2）＞0化为：（x-2018）³f（x-2018）＞（-2）³f（-2）．
∴g（x-2018）＞g（-2），
∴x-2018＞-2，解得x＞2016．
∴不等式（x-2018）³f（x-2018）+8f（-2）＞0的解集为：（2016，+∞）．
故答案为：（2016，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、构造法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．