Question

16．已知函数f（x）=lnx+ax²（a∈R），y=f（x）的图象连续不间断．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，设l是曲线y=f（x）的一条切线，切点是A，且l在点A处穿过函数y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求切线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间；
（2）设切点A（x₀，f（x₀）），x₀＞0，利用导数求出函数在A处的切线方程，把l在点A处穿过函数y=f（x）的图象转化为在点A的两侧，曲线y=f（x）在直线的两侧，令$g（x）=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x-1-{{x}_{0}}^{2}+ln{x}_{0}$，构造函数h（x）=f（x）-g（x），即在x=x₀附近两侧h（x）的值异号．然后利用导数研究函数h（x）的单调性求解．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），
若a≥0，则f'（x）＞0，此时函数单调递增，即增区间为（0，+∞）；
若a＜0，由f′（x）＞0，得2ax²+1＞0，即${x}^{2}＜-\frac{1}{2a}$，得0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
由f′（x）＜0，得x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
∴函数的减区间为（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞），增区间为（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$），
综上：若a≥0，函数的增区间为（0，+∞）．
若a＜0，函数的增区间为（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$），减区间为（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）；
（2）设切点A（x₀，f（x₀）），x₀＞0，${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}+2x$，
∴在点A处切线的斜率是$\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}$．
∴切线方程为$y-f（{x}_{0}）=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）（x-{x}_{0}）$，
即$y=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x-1-{{x}_{0}}^{2}+ln{x}_{0}$．
l在点A处穿过函数y=f（x）的图象，即在点A的两侧，曲线y=f（x）在直线的两侧，
令$g（x）=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x-1-{{x}_{0}}^{2}+ln{x}_{0}$，设h（x）=f（x）-g（x），
∴在x=x₀附近两侧h（x）的值异号．
设$h（x）=lnx+{x}^{2}-（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x+1+{{x}_{0}}^{2}$-lnx₀，注意到h（x₀）=0．
下面研究函数的单调性：
$h′（x）=\frac{1}{x}+2x-\frac{1}{{x}_{0}}-2{x}_{0}=（x-{x}_{0}）（2-\frac{1}{{x}_{0}x}）$=$（x-{x}_{0}）•\frac{2{x}_{0}x-1}{{x}_{0}x}$=$\frac{2（x-{x}_{0}）（x-\frac{1}{2{x}_{0}}）}{x}$．
当${x}_{0}＜\frac{1}{2{x}_{0}}$时：

x	（0，x0）	（x0，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）	（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，+∞）
h′（x）	+	-	+
h（x）	增	减	增

∴当x∈（0，x₀）时，h（x）是增函数，则h（x）＜h（x₀）=0，
当x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，+∞）时，h（x）是减函数，则h（x）＜h（x₀）=0．
∴h（x）在x=x₀处取极大值，两侧附近同负，与题设不符；
同理，当x₀$＞\frac{1}{2{x}_{0}}$时，h（x）在x=x₀处取极小值，两侧附近同正，与题设不符；
故${x}_{0}=\frac{1}{2{x}_{0}}$，即${x}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，h′（x）=$\frac{2（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{x}≥0$，∴h（x）在（0，+∞）内单调递增．
∴当x∈（0，x₀）时，h（x）＜h（x₀）=0，当x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，+∞），h（x）＞h（x₀）=0符合题设．
∴${x}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，切线方程为$y=2\sqrt{2}x-\frac{1}{2}ln2-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属难题．