Question

【题目】双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点．

（1）若的倾斜角为，，是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程；

（2），，若的斜率存在，且，求的斜率；

（3）证明：点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）将代入双曲线的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再将代入可得出的值，由此可得出双曲线的标准方程；

（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段的中点的坐标，由得出，转化为，利用这两条直线斜率之积为，求出实数的值，可得出直线的斜率；

（3）设点，双曲线的两条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证.

（1）直线的倾斜角为，，可得直线，代入双曲线方程可得，

是等腰直角三角形可得，即有，

解得，，则双曲线的方程为；

（2）由，，可得，

直线的斜率存在，设为，设直线方程为，

，可得，

由，联立双曲线方程，

可得，

可得，线段的中点为，

由，可得，

解得，满足，故直线的斜率为；

（3）证明：设，双曲线的两条渐近线为，

可得到渐近线的距离的乘积为，

即为，可得，

可得在双曲线或上，

即有点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．