Question

已知函数f（x）=x³+x，当x∈[3，6]时，不等式f（x²+6）≥f[（m-3）x+m]恒成立，则实数m的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：利用函数的单调性把当x∈[3，6]时，不等式f（x²+6）≥f[（m-3）x+m]恒成立转化为m≤

x2+3x+6

x+1

=(x+1)+

4

x+1

+1（3≤x≤6）恒成立，换元后利用函数的单调性得答案．

解答： 解：∵f（x）=x³+x，
∴f′（x）=3x²+1＞0，
∴函数f（x）=x³+x为R上的单调递增函数．
又x²+6≥6，
∴不等式f（x²+6）≥f[（m-3）x+m]恒成立?x²+6≥（m-3）x+m，
即m≤

x2+3x+6

x+1

=(x+1)+

4

x+1

+1（3≤x≤6）恒成立，
令x+1=t（t∈[4，7]），
∴x+1+

4

x+1

+1=t+

4

t

+1在t=1时取得最小值6，
∴实数m的最大值为6．
故答案为：6．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了分离变量法，考查了利用函数的单调性求最值，是中档题．