Question

【题目】各项为正数的数列如果满足：存在实数，对任意正整数n，恒成立，且存在正整数n，使得或成立，则称数列为“紧密数列”，k称为“紧密数列”的“紧密度”．已知数列的各项为正数，前n项和为，且对任意正整数n，（A，B，C为常数）恒成立．

（1）当，，时，

①求数列的通项公式；

②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”；

（2）当时，已知数列和数列都为“紧密数列”，“紧密度”分别为，，且，，求实数B的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①②见解析；（2）

【解析】

（1）利用公式得到是以首项为1，公差为2的等差数列，得到通项公式；计算恒成立，得到证明.

（2）根据递推公式得到是以首项，公比的等比数列，考虑和两种情况，计算得到，根据解得答案.

（1）①当，，时，，

当时，，

相减得：，

整理得：，因为，则，

即有，当时，，则．

则是以首项为1，公差为2的等差数列，则．

②，得随着的增大而减小，

则对任意正整数n，恒成立，且存在，使得．

则数列是“紧密度”3的“紧密数列”．

（2）当时，，，相减得：，

若，则上式右端中，与矛盾；

若，则上式左端，与矛盾，则，．

则为常数，即是以首项，公比的等比数列．

因为数列为“紧密数列”，则， 所以，又．

当时，，对任意正整数恒成立，

且存在正整数，使得，所以数列的“紧密度”为，

又，即，

此时，随的增大而减小，

所以，对任意正整数恒成立，

且当时，，所以数列的“紧密度”为，

则，与矛盾，不成立；

当时，，对任意正整数恒成立，

且存在正整数，使得，

则此时的“紧密度”为，即．

而随着的增大而减小，

则对任意正整数恒成立，

且当时，，则的“紧密度”，即，

故，即，解得．

综上所述：实数的取值范围为．