Question

【题目】已知椭圆，右顶点，上顶点为B，左右焦点分别为，且，过点A作斜率为的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为的中点，是否存在定点Q，对于任意的都有？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根据题中所给的条件，结合椭圆的性质，得到，，从而得到椭圆的方程；

（2）解法一，首先设直线直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到P点坐标，从而有，假设存在使得，利用向量数量积等于零，从而求得结果.解法二，利用点差法

（1）由题意得：

在中，，，

，，，

椭圆方程为

（2）解法一：设直线

令，则，

将*代入整理得

设，则，

，

设，为的中点

，

设存在使得，则，

，即对任意的都成立

，，存在使得

解法二：设，，

，① ，②

由①-②，得

为中点，

，

，

设存在使得，

则，即

对任意都成立，即，，

存在使得