Question

【题目】已知平面内动点与点，连线的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点.求证：以为直径的圆恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

(1) 设点的坐标，再根据列式求解，同时注意定义域即可；

(2)联立与椭圆的方程，设，，得出韦达定理，进而求得的坐标表达式，进而求得的长及的中点，写出以为直径的圆的方程，即可分析出所过定点.

（1）设点的坐标为，则由，可得

整理得，即动点的轨迹的方程

（2）当的斜率存在时，设的方程为，与曲线的方程联立，消去得

设，，则，

直线的方程为，令，得，即，

同理，

∴

∴

线段中点的纵坐标为

故以为直径的圆的方程为：

令得:，解得或

此时以为直径的圆过点和

当轴时，，，，

则以为直径的圆的方程为，也过点，

所以，以为直径的圆恒过点和.