【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数有两个零点,求a的取值范围;
(Ⅱ)恒成立,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)先求导,对分类讨论,求出单调区间,结合零点存在性定理,即可求出结论;
(Ⅱ)分离参数转化为满足在
上恒成立时,
的取值范围,设
,通过求导求出
,即可求解.
(Ⅰ)由已知得x>0,.
①当a≥0时,,此时f(x)是增函数,故不存在两个零点;
②当a<0时,由,得
,
此时 时,
,此时
是增函数;
当 时,
,此时
是减函数,
所以时,f(x)取得极大值,由f(x)有两个零点,
所以,解得
.
又,所以f(x)在(0,
)有唯一零点.
再取,
则.
所以f(x)在有唯一实数根,
所以a的取值范围是.
(Ⅱ)恒成立,即
在
上恒成立,
即在
上恒成立.
令,则
.
令,则
0.
所以在
上递增,而
,
故存在使得
,即
.
∴.
令,
,
所以在
上递增,∴
.
而时,
,即
,
所以在
上递减;
时,
,即
,
故在
上递增.
所以时,
取得极小值,也是最小值,
,∴a≤1.
所以a的取值范围是.
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【题目】当今世界科技迅猛发展,信息日新月异.为增强全民科技意识,提高公众科学素养,某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动,并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查.该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名,数据统计如表:
借阅科技类图书(人) | 借阅非科技类图书(人) | |
年龄不超过50岁 | 20 | 25 |
年龄大于50岁 | 10 | 45 |
(1)是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关?
(2)该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书,规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分,每借阅一本非科技类图书奖励积分1分,积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书.用表中的样本频率作为概率的估计值.
(i)现有3名借阅者每人借阅一本图书,记此3人增加的积分总和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(ii)现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人,则借阅科技类图书最有可能的人数是多少?
附:K2,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)已知点是曲线
上的动点,求点
到曲线
的最小距离.
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【题目】已知椭圆的对称中心为原点
,焦点在
轴上,焦距为
,点
在该椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于
两点,
点位于第一象限,
是椭圆上位于直线
两侧的动点.当点
运动时,满足
,问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】圆周率π是数学中一个非常重要的数,历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N人,让每人随机写出一对小于1的正实数a,b,再统计出a,b,1能构造锐角三角形的人数M,利用所学的有关知识,则可估计出π的值是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】刘徽(约公元225年—295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成
个等腰三角形(如图所示),当
变得很大时,这
个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想,估计
的值为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】著名物理学家李政道说:“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成13个半音,使相邻两个半音之间的频率比是常数,如下表所示,其中表示这些半音的频率,它们满足
.若某一半音与
的频率之比为
,则该半音为( )
频率 | |||||||||||||
半音 | C | D | E | F | G | A | B | C(八度) |
A.B.GC.
D.A
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
(t为参数),
,点A为直线
与曲线C在第二象限的交点,过O点的直线
与直线
互相垂直,点B为直线
与曲线C在第三象限的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程及直线的普通方程;
(2)若,求
的面积.
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