Question

【题目】如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．

（1）请确定入口F的选址范围；
（2）设商业区的面积为S1 ， 绿化区的面积为S2 ， 商业区的环境舒适度指数为 ，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

则A（0，0），

设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，

而EG⊥AF，故EG的斜率为 ，

则EG的方程为 ，

令x=0，得 ；

令y=0，得 ；

由 ，得 ，

∴ ，

即入口F的选址需满足BF的长度范围是 （单位：km）

（2）解：因为 ，

故该商业区的环境舒适度指数 ，

所以要使 最大，只需S1最小．

设 ，

则 ，

令f'（a）=0，得 或 （舍），

a，f'（a），f（a）的情况如下表：

a	2﹣	（2﹣ ， ）			1
f'（a）		﹣	0	+
f（a）		减	极小	增

故当 ，即入口F满足 km时，该商业区的环境舒适度指数最大

【解析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；（2）因为 ，该商业区的环境舒适度指数 ，所以要使 最大，只需S1最小．转化为求其最小值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．