Question

【题目】已知抛物线与直线相交于A、B两点.

（1）求证：；

（2）当的面积等于时，求k的值.

Answer 1

【答案】解: (1) 当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意, ………… 2分

∴k 0由y =" k" (x+1)得x =–1 代入y 2=" –" x 整理得: y 2+y – 1 =" 0" ， 2分

设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 则y 1+ y 2= –, y 1y 2=" –1." ………… 2分

∵A、B在y 2=" –" x上, ∴A (–, y 1), B (–, y 2) ，

∴ kOA·kOB===" –" 1 .

∴ OA^OB. …………… 3 分

(2) 设直线与x轴交于E, 则 E ( – 1 , 0 ) ∴|OE| =" 1" ，

【解析】

试题（1）可假设，分别代入抛物线方程与直线方程，化简整理可得，，利用向量垂直有，即证明；（2）直线与轴的交点为的坐标为，则可将三角形拆为两个三角形，两三角形具有相同的底边，高分别为的纵坐标，利用（1）中的关系便可求得的面积函数，根据函数值求的值．

试题解析：（1）证明：联立，消去x，得ky2＋y－k＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－，y1·y2＝－1．因为y12＝－x1，y22＝－x2，所以（y1·y2）2＝x1·x2，所以x1·x2＝1，所以x1x2＋y1y2＝0，即＝0，所以OA⊥OB．

（2）设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为（－1,0），

所以S△AOB＝|ON|·|y1－y2|

＝×|ON|×

＝×1×＝，

解得k2＝，所以k＝±．