Question

【题目】已知：等比数列{}中，公比为q，且a1=2，a4=54，等差数列{}中，公差为d，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+ a2+ a3.

（I）求数列{}的通项公式；

（II）求数列{}的前n项和的公式；

（III）设，，其中n=1，2，…，试比较与的大小，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（I）=2·3；（II） ；（III）当n≤18时，；当n=19时，；当n≥20时，.

【解析】

（I）先由{an}的a1，a4求出公比q，再由等比数列的通项公式即可得结果;（II）等差数列{bn}满足b1+b2+b3+b4=26进而求出d，得到bn利用等差数列的前n项和公式可得结果；（III）由已知可得b1，b4，b7，b3n-2组成以b1=2为首项，3d为公差的等差数列，而b10，b12，b14，b2n+8组成以b10=29为首项，2d为公差的等差数列，求出Pn和Qn后，作差得到关于n的函数关系式，讨论n的情况可得结果．

（I）等比数列{}中，a4=，则=27，即q=3，则=a1=2·；

（II）由（I）知：

∵数列{}是等差数列，∴，

∴，

∴，∴，∴前n项和；

（III）由题知：…，组成以3d为公差的等差数列，

则，

同理…，组成以2d为公差的等差数列，，

，

则，

则当n≤18时，；当n=19时，；当n≥20时，.