Question

如图，椭圆，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.
（1）求实数的值
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交与.
①证明：
②记△，△的面积分别是.若=，求的取值范围.

Answer 1

解：（1）由题意知：半长轴为2，则有              
                                
（2）①由题意知，直线的斜率存在，
设为，则直线的方程为.
由得，                          
设，则是上述方程的两个实根，
于是。                                                          
又点的坐标为，所以                                                             故，即，
故                  
②设直线的斜率为，则直线的方程为，
由解得或，
则点的坐标为              
又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.
于是
由得，
解得或，
则点的坐标为；    
又直线的斜率为，
同理可得点的坐标
于是
因此，                                                                   
又由点的坐标可知，，
平方后代入上式，
所以
故的取值范围为