Question

18．已知$\overrightarrow{OA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{OB}$=（4，1，0），$\overrightarrow{OC}$=（4，5，-1），则向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值是$\frac{3\sqrt{26}}{26}$．

Answer 1

分析 首先利用有向线段的坐标求法分别求出向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的坐标，然后利用数量积公式求夹角的余弦值．

解答 解：由已知$\overrightarrow{OA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{OB}$=（4，1，0），$\overrightarrow{OC}$=（4，5，-1），得到向量$\overrightarrow{AB}$=（3，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（3，4，-1），
所以向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3×3+0+0}{3×\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{3\sqrt{26}}{26}$；
故答案为：$\frac{{3\sqrt{26}}}{26}$．

点评 本题考查了有向线段的坐标以及利用数量积公式求空间向量的夹角；属于基础题．