Question

6．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）为平面上不共线的三点，则三角形ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|
• B． $\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&{1}\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&{1}\\{{x}_{3}}&{{y}_{3}}&{1}\end{array}|$
• C． $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$|
• D． $\frac{1}{2}$（cos|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|）

Answer 1

分析 △ABC三个顶点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且按逆时针方向排列，分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为M${{\;}_{1}}^{\;}$，M₂，M₂，过A作x轴平行线，分别交M₂B，M₃C于Q₂，Q₃，设AB=ρ₁，AC=ρ₂，∠BAC=θ，∠Q₂AB=θ₁，∠Q₃AC=θ₂，则θ=θ₂-θ₁，ρ₁cosθ₁=AQ₂=M₁M₂=x₂-x₁，由此能求出△ABC的面积可以表示为S=$\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&{1}\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&{1}\\{{x}_{3}}&{{y}_{3}}&{1}\end{array}|$．

解答 解：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
C（x₃，y₃），
且按逆时针方向排列，
分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为M${{\;}_{1}}^{\;}$，M₂，M₂，
过A作x轴平行线，分别交M₂B，M₃C于Q₂，Q₃，
设AB=ρ₁，AC=ρ₂，∠BAC=θ，∠Q₂AB=θ₁，∠Q₃AC=θ₂，
则θ=θ₂-θ₁，
ρ₁cosθ₁=AQ₂=M₁M₂=x₂-x₁，
ρ₁sinθ₁=Q₂B=y₂-y₁=$\frac{1}{2}[（{x}_{2}-{x}_{1}）（{y}_{3}-{y}_{1}）-（{y}_{2}-{y}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{1}）]$
=$\frac{1}{2}$（x₁y₂+x₂y₃+x₃y₁-x₁y₃-x₂y₁-x₃y₂），
又∵x₁y₂z₁+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂-x₁y₃z₂-x₂y₁z₃-x₃y₂z₁，
∴△ABC的面积可以表示为S=$\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&{1}\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&{1}\\{{x}_{3}}&{{y}_{3}}&{1}\end{array}|$．
故选：B．

点评 本题考查三角形面积的表示，是中档题，解题时要认真审题，注意行列式的性质的合理运用．