Question

10．如图，四棱锥S-ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．
（1）求证：SA⊥BD；
（2）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直以及线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）由线线平行到面面平行从而推出线面平行即可．

解答 证明：如图示：
（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，
又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，
∵△ABD是正三角形，∴AO是BD的中垂线，
故A、O、C在同一直线上，
故平面SAC即平面SOC，
由BD⊥OC，BD⊥SC，得BD⊥平面SAC，
故SA⊥BD；
（2）取AB中点N，连接DM，MN，DN，
∵M是SA的中点，∴MN∥BE，
∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，
∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，
所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，
故DM∥平面SBC．

点评 本题考查了线面、面面、线线平行的判定定理，考查看图能力，是一道中档题．