Question

4．已知M是关于x的不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．

Answer 1

分析 根据原不等式即（2x-a-1）（x+2a-3）＜0，有一个元素是x=0，带入不等式，求出a的范围．对a讨论，表示出该不等式的解集．

解答 解：不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0，因式分解，可得（2x-a-1）（x+2a-3）＜0，
由方程（2x-a-1）（x+2a-3）=0，可得两个根分别为：x₁=$\frac{a+1}{2}$，x₂=3-2a．
由x=0适合不等式，
故得（a+1）（2a-3）＞0，
∴a＜-1，或a＞$\frac{3}{2}$．
若a＜-1，x₁＜x₂，此时不等式的解集为{x|$\frac{a+1}{2}$＜x＜3-2a}．
若a＞$\frac{3}{2}$，x₁＞x₂，此时不等式的解集为{x|$\frac{a+1}{2}$＞x＞3-2a}．
（提示：利用作差比较x₁，x₂的大小）

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．