Question

13．如图，已知长方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）求直线DB与平面ABCM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）在长方形ABCD中，可得AM=BM=2，BM⊥AM，
即BM⊥平面ADM，AD⊥BM；           
（2）取AM得中点N，连接DH，BH，MB
则DH⊥AM，又平面ADM⊥平面ABCM，∴DH⊥面ABCM，DH⊥HB
故∠DBH即为直线DB与平面ABCM所成角
在Rt△DHB中，求解直线DB与平面ABCM所成角的正弦值

解答 （1）证明：∵长方形ABCD中，AB=$2\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM；∵AD?平面ADM∴AD⊥BM；                 …（6分）
（2）取AM得中点N，连接DH，BH，MB
则DH⊥AM，又平面ADM⊥平面ABCM，∴DH⊥面ABCM，DH⊥HB
故∠DBH即为直线DB与平面ABCM所成角

在Rt△DAM中，DH=$\frac{1}{2}AM=1$，
由（1）得BM⊥平面ADM，BM⊥DM
∴$DB=\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}=\sqrt{6}$
在Rt△DHB中，sin$∠DBH=\frac{DH}{DB}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$
∴直线DB与平面ABCM所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$

点评 本题考查了空间线线垂直的判定，线面角的求解，考查了转化思想，属于中档题．