Question

15．函数f（x）=（x-2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2-x）＞0的解集为（　　）

• A． {x|-2＜x＜2}
• B． {x|x＞2，或x＜-2}
• C． {x|0＜x＜4}
• D． {x|x＞4，或x＜0}

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的关系，判断a，b的关系和符号，结合函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：f（x）=（x-2）（ax+b）=ax²+（b-2a）x-2b，
∵函数f（x）=（x-2）（ax+b）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即ax²-（b-2a）x-2b=ax²+（b-2a）x-2b，
得-（b-2a）=（b-2a），即b-2a=0，则b=2a，
则f（x）=ax²-4a，
∵f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴a＞0，
由f（2-x）＞0得a（2-x）²-4a＞0，
即（2-x）²-4＞0，
得x²-4x＞0，得x＞4或x＜0，
即不等式的解集为{x|x＞4，或x＜0}，
故选：D

点评 本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质求出a，b的关系和符号是解决本题的关键．