【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1;
(2)求证:AC1∥平面CDB1;
(3)求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5,∴AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),
D .
∵ ,∴
,即AC⊥BC1
(2)证明:设CB1∩C1B=E,则E(0,2,2), ,
∴ ,即DE∥AC1,∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1
(3)解: =
,设平面CDB1的一个法向量为
=(x,y,z),则
,则
,
可求得平面CDB1的一个法向量为 =(4,﹣3,3).
取平面CDB的一个法向量为 ,
则 =
=
=
.
由图可知,二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为 .
【解析】(1)直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5,∴AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.只要证明 ,即可证明AC⊥BC1 . (2)设CB1∩C1B=E,则E(0,2,2),可得
,即DE∥AC1 , 即可证明AC1∥平面CDB1 . (3)设平面CDB1的一个法向量为
=(x,y,z),则
,可求得平面CDB1的一个法向量为
.取平面CDB的一个法向量为
,利用
=
即可得出.
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【题目】已知F是双曲线 =1(a>0,b>0)的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为( )
A.(1,2)
B.(2,1+ )
C.( ,1)
D.(1+ ,+∞)
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【题目】已知直线y=- x+5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍,分别求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过点P(3,-4);
(2)在x轴上截距为-2;
(3)在y轴上截距为3.
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【题目】某校从高二年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),[90,100]后得到如图的频率分布直方图.
(1)求图中实数a的值;
(2)若该校高二年级共有学生640人,试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;
(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
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【题目】已知函数f(x)=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6,在x=1时有极小值,
(1)求a,b,c的值;
(2)求f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值和最小值.
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【题目】已知两曲线f(x)= x2+ax与g(x)=2a2lnx+b有公共点,且在该点处有相同的切线,则a∈(0,+∞)时,实数b的最大值是( )
A.e
B.2e
C.e
D. e
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【题目】已知平面内两点A(8,-6),B(2,2).
(1)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程;
(2)一束光线从B点射向(1)中直线l,若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程.
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【题目】已知椭圆C: +
=1 (a>b>0 ) 经过点 P(1,
),离心率 e=
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程.
(Ⅱ)设过点E(0,﹣2 ) 的直线l 与C相交于P,Q两点,求△OPQ 面积的最大值.
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