Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），

D ．

∵ ，∴ ，即AC⊥BC1

（2）证明：设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2）， ，

∴ ，即DE∥AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1

（3）解： = ，设平面CDB1的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，则 ，

可求得平面CDB1的一个法向量为 =（4，﹣3，3）．

取平面CDB的一个法向量为 ，

则 = = = ．

由图可知，二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为 ．

【解析】（1）直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．只要证明 ，即可证明AC⊥BC1 ． （2）设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），可得 ，即DE∥AC1 ， 即可证明AC1∥平面CDB1 ． （3）设平面CDB1的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，可求得平面CDB1的一个法向量为 ．取平面CDB的一个法向量为 ，利用 = 即可得出．