Question

已知函数f（x）=2sin（wx+φ），其中w＞0，-π＜φ＜π，若f（x）的最小正周期为6π，且当x=

π

2

时，f（x）取得最大值．
（1）求解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）由y=sinx的图象如何变换可得到f（x）的图象．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求出w，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
（3）由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答： 解：（1）由f（x）的最小正周期为

2π

w

=6π，求得w=

1

3

．
再根据当x=

π

2

时，f（x）取得最大值，可得

1

3

×

π

2

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z；
结合-π＜φ＜π，可得φ=

π

3

，∴函数f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤

1

3

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得6kπ-5π≤x≤6kπ+π，
故函数的增区间为[6kπ-5π，6kπ+π]，k∈z．
（3）把y=sinx的图象向左平移

π

3

个单位，可得y=sin（x+

π

3

）的图象；
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍，可得y=sin（

1

3

x+

π

3

）的图象，
再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（

1

3

x+

π

3

）的图象．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．