Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2．
（1）求异面直线BC₁与B₁D₁所成的角；
（2）求三棱锥A₁-AB₁D₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，DC₁，由BD∥B₁D₁，得∠DBC₁是异面直线BC₁与B₁D₁所成的角，由此能求出异面直线BC₁与B₁D₁所成的角．
（2）由VA1-AB1D1=VA-A1B1D1，利用等积法能求出三棱锥A₁-AB₁D₁的体积．

解答： 解：（1）连结BD，DC₁，
∵BD∥B₁D₁，∴∠DBC₁是异面直线BC₁与B₁D₁所成的角，
∵BD=BC₁=DC₁，
∴∠DBC₁=60°，
∴异面直线BC₁与B₁D₁所成的角为60°．
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁D₁，且AA₁=2，
S△A1B1D2=

1

2

×2×2=2，
∴VA1-AB1D1=VA-A1B1D1
=

1

3

×S△A1B1D1×AA1=

1

3

×2×2=

4

3

．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．