Question

20．已知函数f（x）=-$\frac{a}{2}{x}^{2}$+（a-1）x+lnx．
（Ⅰ）若a＞-1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a-1）f（x）＜3e^a-3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，令f′（x）=0，解得x₁、x₂，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；
（Ⅱ）a＞1，由函数单调性可知，f（x）在x=1取极大值，也为最大值，f（x）_max=$\frac{1}{2}$a-1，因此（2a-1）f（x）≤（2a-1）（$\frac{1}{2}$a-1），构造辅助函数g（a）=$\frac{（2a-1）（\frac{1}{2}a-1）}{{e}^{a-3}}$，求导，求出g（a）的单调区间及最大值$\frac{9}{2\sqrt{e}}$，$\frac{9}{2\sqrt{e}}$＜$\frac{9}{3}$=3，可知g（a）＜3，e^a-3＞0，即可证明（2a-1）f（x）＜3e^a-3．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-$\frac{a}{2}{x}^{2}$+（a-1）x+lnx，x＞0
当a=0时，数f（x）=-x+lnx，
f′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，
令f′（x）=0，解得：x=1，
当0＜x＜1，f′（x）＞0，函数单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当a≠0，则f′（x）=-ax+（a-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{-a{x}^{2}+（a-1）x+1}{x}$，
令f′（x）=0，解得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{a}$，
当-$\frac{1}{a}$＞1，解得-1＜a＜0，
∴-1＜a＜0，f′（x）＞0的解集为（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞），
f′（x）＜0的解集为（1，-$\frac{1}{a}$），
∴函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞），
函数f（x）的单调递减区间为（1，-$\frac{1}{a}$）；
当-$\frac{1}{a}$＜1，解得a＞0，
∴a＞0，f′（x）＞0的解集为（0，1），
f′（x）＜0的解集为（1，+∞）；
∴当a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），
函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；
综上可知：-1＜a＜0，函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，-$\frac{1}{a}$）；
a≥0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）证明：∵a＞1，故由（Ⅰ）可知函数f（x）的单调递增区间为（0，1）单调递减区间为（1，+∞），
∴f（x）在x=1时取最大值，并且也是最大值，即f（x）_max=$\frac{1}{2}$a-1，
又∵2a-1＞0，
∴（2a-1）f（x）≤（2a-1）（$\frac{1}{2}$a-1），
设g（a）=$\frac{（2a-1）（\frac{1}{2}a-1）}{{e}^{a-3}}$，g′（a）=-$\frac{（2{a}^{2}-9a+7）}{2{e}^{a-3}}$=-$\frac{（a-1）（2a-7）}{2{e}^{a-3}}$，
∴g（a）的单调增区间为（2，$\frac{7}{2}$），单调减区间为（$\frac{7}{2}$，+∞），
∴g（a）≤g（$\frac{7}{2}$）=$\frac{6×\frac{3}{4}}{{e}^{\frac{1}{2}}}$=$\frac{9}{2\sqrt{e}}$，
∵2$\sqrt{e}$＞3，
∴$\frac{9}{2\sqrt{e}}$＜$\frac{9}{3}$=3，
∴g（a）＜3，
e^a-3＞0，
∴（2a-1）f（x）＜3e^a-3．

点评 本题考查导数的运用，利用导数法求函数的极值及单调性区间，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，正确构造函数，求导数是关键，属于中档题．