Question

11．定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$），当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，且f（-$\frac{1}{2}$）=1．设m=f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{11}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）n≥2，n∈N^*，则实数m与-1的大小关系是m＞-1．

Answer 1

分析 化简可得f（x）在（-1，1）为奇函数，单调减函数且在（-1，0）时，f（x）＞0，从而可得f（$\frac{1}{2}$）=-1，且f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）=f（$\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n}\frac{1}{n+1}}$）=f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$），从而利用裂项求和法求得．

解答 解：∵函数f（x）满足$f（x）-f（y）=f（\frac{x-y}{1-xy}）$，
令x=y=0得f（0）=0；
令x=0得-f（y）=f（-y）．
∴f（x）在（-1，1）为奇函数，单调减函数且在（-1，0）时，f（x）＞0，
则在（0，1）时f（x）＜0．又f（$\frac{1}{2}$）=-1，
∵f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）=f（$\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n}\frac{1}{n+1}}$）
=f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$），
∴m=f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{11}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）
=[f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{3}$）]+[f（$\frac{1}{3}$）-f（$\frac{1}{4}$）]+…+[f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$）]
=f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{n+1}$）=-1-f（$\frac{1}{n+1}$）＞-1，
故答案为：m＞-1．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及转化思想的应用，同时考查了学生的学习能力．