Question

12．已知函数f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=-x²+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在如图的直角坐标系中画出函数求f（x）的图象，并求不等式f（x）≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）分类讨论求函数的解析式可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）作其图象，从而结合图象可得不等式f（x）≥0的解集．

解答 解：（1）当x=0时，f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-（-（-x）²+2（-x））
=x²+2x，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）作其图象如下，
，
结合图象可知，
不等式f（x）≥0的解集为（-∞，-2]∪[0，2]．

点评 本题考查了分类讨论的应用及数形结合的思想应用．