Question

4．已知函数$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$，其中a为常数．
（1）若a=1，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在其定义域上是奇函数，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断．
（2）根据函数是奇函数，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}$，其定义域为R．
此时对任意的x∈R，都有$f（-x）=\frac{{1-{e^{-x}}}}{{1+{e^{-x}}}}=\frac{{{e^x}-1}}{{{e^x}+1}}=-\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}=-f（x）$
所以函数f（x）在其定义域上为奇函数．
（2）若函数$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在其定义域上是奇函数，则对定义域内的任意x，
有：$f（-x）=\frac{{a-{e^{-x}}}}{{1+a{e^{-x}}}}=\frac{{a{e^x}-1}}{{{e^x}+a}}=-f（x）=\frac{{{e^x}-a}}{{1+a{e^x}}}$
整理得：a²e^2x-1=e^2x-a²，即：e^2x（a²-1）=1-a²对定义域内的任意x都成立．
所以a²=1
当a=1时，$f（x）=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}$，定义域为R；
当a=-1时，$f（x）=\frac{{-1-{e^x}}}{{1-{e^x}}}=\frac{{{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}$，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
所以实数a的值为a=1或a=-1．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．