【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.已知函数
.
(1)当时,求函数
在
上的值域,并判断函数
在
上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若是
上的有界函数,且
的上界为3,求实数
的取值范围.
【答案】(1)值域为,函数
在
上不是有界函数,详见解析(2)
【解析】
(1)利用函数的单调性得到函数的值域,从值域上观察不存在正数M,即函数在x∈(0,+∞)上不是有界函数.,
(2)根据函数f(x)在(﹣∞,0]上是以3为上界的函数,得到|1+2x+4x|≤3,换元以后得到关于t的不等式,根据二次函数的性质写出对称轴,求出a的范围.
(1)当时,
,
因为在
上递增,所以
,
即在
的值域为
,故不存在常数
,使
成立,
所以函数在
上不是有界函数.
(2)由已知函数f(x)在(﹣∞,0]上是以3为上界的函数,即:|1+a2x+4x|≤3
设t=2x,所以t∈(0,1),不等式化为|1+at+t2|≤3
当0时,1
且2+a≤3得﹣2<a<0
当或
时,即a≤﹣2或a≥0时,得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1,
综上有.
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【题目】已知椭圆:
经过点
(
,
),且两个焦点
,
的坐标依次为(
1,0)和(1,0).
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设,
是椭圆
上的两个动点,
为坐标原点,直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,求当
为何值时,直线
与以原点为圆心的定圆相切,并写出此定圆的标准方程.
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【题目】某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下,充分利用自身资源,大力发展养殖业,以增加收入,政府计划共投入72万元,全部用于甲、乙两个合作社,每个合作社至少要投入15万元,其中甲合作社养鱼,乙合作社养鸡,在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a(单位:万元)满足,N=
a+20.设甲合作社的投入为x(单位:万元),两个合作社的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当甲合作社的投入为25万元时,求两个合作社的总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个合作社的投入,才能使总收益最大,最大总收益为多少万元?
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【题目】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为
A. B.
C. 39 D.
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【题目】已知函数(
为实常数).
(1)若,写出
的单调递增区间(直接写结果)
(2)若,设
在区间
的最小值为
,求
的表达式;
(3)设,若函数
在区间
上是增函数,求实数
的取值范围.
参考结论:函数(
为常数),
时,
在
上递增;
时,
在
上递减,
上递增.
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【题目】为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数;
(2)从这200名司机中任选两人,设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量,求
的分布列及数学期望.
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