Question

20．已知函数f（x）=4cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调减区间；
（2）求函数在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简求得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数图象和性质f（x）的最小正周期和单调递减区间，
（2）根据x的取值范围求得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，求f（x）的最大和最小值．

解答 解：f（x）=4cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x，
=2（2cos²x-1）+2+$\sqrt{3}$sin2x+1-2sin²x-1，
=3cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1，
=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z），
∴函数的单调减区间为：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，当x=$\frac{π}{6}$时取最大值为2$\sqrt{3}$+1，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，x=$\frac{π}{2}$时，取最小值为-$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查根据二倍角公式化简，根据正弦函数图象及性质求得函数的最小周期、单调区间及最值，属于中档题．