Question

9．把二项式（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁸的展开式的各项重新排列，则第一项为有理数，且有理项互不相邻的概率为（　　）

• A． $\frac{4}{27}$
• B． $\frac{3}{25}$
• C． $\frac{5}{28}$
• D． $\frac{2}{15}$

Answer 1

分析 写出二项展开式的通项，求出所含的有理项，然后利用古典概型概率计算公式求得答案．

解答 解：${T}_{r+1}={C}_{8}^{r}（\frac{x}{2}）^{8-r}（-\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$=$（-1）^{r}（\frac{1}{2}）^{8-r}{C}_{8}^{r}{x}^{8-\frac{4}{3}r}$．
∴当r=0，3，6时为有理项，
故展开式中有三项为有理项．
各项重新排列共有${A}_{9}^{9}$种不同的排列方法，
满足第一项为有理数，且有理项互不相邻的排法种数为${C}_{3}^{1}{A}_{6}^{6}{A}_{6}^{2}$种，
∴第一项为有理数，且有理项互不相邻的概率为P=$\frac{{C}_{3}^{1}{A}_{6}^{6}{A}_{6}^{2}}{{A}_{9}^{9}}=\frac{5}{28}$．
故选：C．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了古典概型概率计算公式的应用，是中档题．