Question

18．已知数列{a_n}中，首项a₁=1，分别求出满足下列条件数列的通项公式．
（1）a_n+1=a_n+3n²+3n+1（n∈N^*）
（2）na_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n+3n²+3n+1可得a₂-a₁=3×1²+3×1+1，a₃-a₂=3×2²+3×2+1，…，从而利用累加法求解；
（2）化简na_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1可得（n+1）a_n+1=2na_n，从而可得数列{na_n}从第2项起成以1为首项，2为公比的等比数列，从而解得．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+3n²+3n+1，
∴a₂-a₁=3×1²+3×1+1，
a₃-a₂=3×2²+3×2+1，
…，
a_n-a_n-1=3×（n-1）²+3×（n-1）+1，
累加可得，
a_n-a₁=（3×1²+3×1+1）+（3×2²+3×2+1）+…+（3×（n-1）²+3×（n-1）+1），
a_n-a₁=3$\frac{（n-1）n（2n-1）}{6}$+3$\frac{1+n-1}{2}$•（n-1）+n-1，
=（n-1）（n²+n+1），
故a_n=（n-1）（n²+n+1）+1；
（2）∵na_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1，
∴（n+1）a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n，
∴（n+1）a_n+1-na_n=na_n，
∴（n+1）a_n+1=2na_n，
又∵1•a₁=1，2a₂=a₁=1，
∴数列{na_n}从第2项起成以1为首项，2为公比的等比数列，
∴na_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{{2}^{n-2}}{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质及累加法与作差法的应用．