Question

1．下列命题中错误的是（　　）

• A． 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
• B． 圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个
• C． 圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
• D． 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

Answer 1

分析 对于A，B，计算出截面面积与轴截面面积比较大小即可判断，对于C，D，利用旋转体的结构特征进行分析判断．

解答 解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．
∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．
对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为$\sqrt{{r}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴截面三角形SAB的高为$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$，∴截面面积S=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}（{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}）}$≤$\sqrt{（\frac{{h}^{2}+{r}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{{h}^{2}+{r}^{2}}{2}$．
故截面的最大面积为$\frac{{h}^{2}+{r}^{2}}{2}≥hr$．故B错误．
对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．
对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．
故选：B．

点评 本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．