Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=3．E为PD中点，F在棱PA上，且AF=1
（Ⅰ）求证：CE∥面BDF；
（Ⅱ）求三棱锥P-BDF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由三角形中位线定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，进一步得到CE∥面BDF；
（Ⅱ）由PA是三棱锥P-ABD的高，求出底面三角形ABD的面积，由三棱锥P-BDF的体积等于三棱锥P-ABD的体积与三棱锥F-ABD的体积差求解．

解答 证明：（Ⅰ）如图所示，取PF中点G，连接EG，CG．
连接AC交BD于O，连接FO．
由题可得F为AG中点，O为AC中点，
∴FO∥GC；
又G为PF中点，E为PD中点，
∴GE∥FD．
又GE∩GC=G，GE、GC?面GEC，
FO∩FD=F，FO，FD?面FOD．
∴面GEC∥面FOD．
∵CE?面GEC，
∴CE∥面BDF；
解：（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD，
∴PA是三棱锥P-ABD的高，
又${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴${V}_{P-ABD}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×PA=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
同理${V}_{F-ABD}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×FA=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴${V}_{P-BDF}={V}_{P-ABD}-{V}_{F-ABD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积得求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．