Question

11．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=$\frac{π}{4}$，cos∠C=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求sin∠ADB的值； 
（Ⅱ）若BD=2DC=5，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （I）求出sinC，则sin∠ADB=sin∠ADC=sin（C+∠CAD）；
（II）在△ACD中使用正弦定理计算AD，代入三角形的面积公式S_△ABD=$\frac{1}{2}AD•BD•sin∠ADB$即可．

解答 解：（I）在△ABC中，∵cosC=$\frac{3}{5}$，∴sinC=$\frac{4}{5}$．
∴sin∠ADC=sin（C+∠CAD）=sinCcos∠CAD+cosCsin∠CAD=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∵∠ADB+∠ADC=π，
∴sin∠ADB=sin∠ADC=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
（II）在△ACD中，由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AD}{sinC}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{AD}{\frac{4}{5}}$，解得AD=2$\sqrt{2}$．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}AD•BD•sin∠ADB$=$\frac{1}{2}×5×2\sqrt{2}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=7．

点评 本题考查了两角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．