Question

13．已知抛物线C₁：x²=2y，双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，离心率为$\sqrt{5}$，若过点A且与C₂的渐近线平行的直线恰好与C₁相切，则双曲线的标准方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 由离心率公式和渐近线方程，可得过点A且与C₂的渐近线平行的直线为y=$\frac{b}{a}$（x-a），代入抛物线的方程，运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，解方程可得a=1，b=2，进而得到双曲线的方程．

解答 解：由题意可得A（a，0），e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，①
双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设过点A且与C₂的渐近线平行的直线为y=$\frac{b}{a}$（x-a），
代入抛物线x²=2y，可得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{b}{a}$x+b=0，
由直线和抛物线相切可得△=0，即为$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-2b=0，即为b=2a²，②
由c²=a²+b²，③，
由①②③解得a=1，b=2，c=$\sqrt{5}$，
可得双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和渐近线方程，以及直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．