Question

13．函数y=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域是[0，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 化函数y为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出函数y在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域．

解答 解：函数y=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
当x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x+$\frac{2π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴函数y在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域是[0，$\frac{3}{2}$]．
故答案为：[0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的问题，是基础题．