Question

11．已知函数f（x）=x²+2xcosθ-1，x∈[-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}]$
（1）当θ=$\frac{π}{3}$时，求f（x）的最值；
（2）若f（x）在$x∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}]$上是单调函数，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函数值得到f（x），求出对称轴，根据所给的区间，求出最值即可；
（2）需要分类讨论，当cosθ=0时，不满足条件，
当cosθ≠0，根据对称轴求cosθ的范围，从而求出θ的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=x²+2xcosθ-1，x∈[-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}]$，
θ=$\frac{π}{3}$时，则cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=x²+x-1，开口向上，对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]上为减函数，在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上为增函数，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{5}{4}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{4}$；
（2）当cosθ=0时，f（x）=x²-1，在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）上到单调递减，在[0，$\frac{1}{2}$]单调递增，
∵f（x）在区间[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，
∴cosθ=0不成立，
即cosθ≠0，
∵f（x）=x²+2xcosθ-1，x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
∴对称轴为x=-cosθ，
∴-cosθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-cosθ≥$\frac{1}{2}$，
即cosθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或cosθ≤-$\frac{1}{2}$，
∴2kπ-$\frac{π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{2π}{3}$≤θ≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z；
又θ∈[0，2π]，
∴θ的取值范围是[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．

点评 本题主要考查了二次函数的单调性与对称轴问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．