Question

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示：
（1）试确定f（x）的解析式；
（2）f（$\frac{α}{2π}$）=$\frac{1}{2}$，求cos（$\frac{2π}{3}$+$\frac{α}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；
（2）根据f（$\frac{α}{2π}$）的值，利用诱导公式化简cos（$\frac{2π}{3}$+$\frac{α}{2}$），求值即可．

解答 解：（1）由图可知 A=2，
且$\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}=\frac{T}{4}$，
∴T=2，
又${T}=\frac{2π}{ω}=2$，
∴ω=π；
将$（{\frac{5}{6}，0}）$代入f（x）=2sin（πx+φ），
即  $sin（{\frac{5}{6}π+φ}）=0$，
∴$\frac{5}{6}π+φ=kπ$，
解得$φ=kπ-\frac{5}{6}π$，k∈Z；
又∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=2sin（{πx+\frac{π}{6}}）（{x∈R}）$；
（2）∵$f（{\frac{α}{2π}}）=\frac{1}{2}$，
∴$sin（{\frac{α}{2}+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{4}$，
∴$cos（{\frac{2π}{3}+\frac{α}{2}}）=cos（{\frac{π}{2}+\frac{α}{2}+\frac{π}{6}}）=-sin（{\frac{α}{2}+\frac{π}{6}}）$=$-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了三角函数化简以及三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．