Question

设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x，f（x）=a（x+1）²•ln（x+1）+bx，曲线y=f（x）在原点（0，0）处的切线方程为y=0，且经过点（e-1，e²-e+1）．
（1）求y=f（x）的表达式，并证明：当x≥0时，g（x）≥0；
（2）若当x≥0时，f（x）≥mx²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，再将点（e-1，e²-e+1）代入f（x）的解析式，解方程即可得到a，b，进而得到f（x）的解析式；
（2）令h（x）=f（x）-mx²=（x+1）²•ln（x+1）-x-mx²，求出h（x）的导数，对m讨论，当m≤

1

2

时，当m＞

1

2

时，判断导数的符号，得到单调性即可求得m的范围．

解答： （1）解：f（x）=a（x+1）²•ln（x+1）+bx的导数为
f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，
由曲线y=f（x）在原点（0，0）处的切线方程为y=0，即有a+b=0，
曲线y=f（x）经过点（e-1，e²-e+1），则ae²+b（e-1）=e²-e+1，
解得a=1，b=-1，
即有f（x）=（x+1）²•ln（x+1）-x．
证明：函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x的导数为g′（x）=ln（x+1）+1-1=ln（x+1），
当x≥0时，ln（x+1）≥0，即有g（x）在x≥0上递增，则g（x）≥g（0）成立；
（2）解：令h（x）=f（x）-mx²=（x+1）²•ln（x+1）-x-mx²，
h′（x）=f′（x）-2mx=2（x+1）ln（x+1）+（1-2m）x．
当m≤

1

2

时，当x≥0时，h′（x）≥0恒成立，即有f（x）≥mx²．
当m＞

1

2

时，当x≥0时，h′（x）≥0不恒成立．
则有实数m的取值范围为（-∞，

1

2

]．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，属于中档题．