【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,圆
经过椭圆
的两个焦点和两个顶点,点
在椭圆
上,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和点
的坐标;
(Ⅱ)过点的直线
与圆
相交于
、
两点,过点
与
垂直的直线
与椭圆
相交于另一点
,求
的面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为
, 点P的坐标为
.(Ⅱ)
.
【解析】分析:(I)由题意计算可得,
, 则椭圆
的方程为
, 结合几何性质可得点P的坐标为
.
(II)由题意可知直线l2的斜率存在,设l2的方程为,与椭圆方程联立可得
, 由弦长公式可得
; 结合几何关系和勾股定理可得
, 则面积函数
, 换元求解函数的值域可得△ABC的面积的取值范围是
.
详解:(I)设,
,
可知圆经过椭圆焦点和上下顶点,得
,
由题意知,得
,
由,得
,
所以椭圆的方程为
,
点P的坐标为.
(II)由过点P的直线l2与椭圆相交于两点,知直线l2的斜率存在,
设l2的方程为,由题意可知
,
联立椭圆方程,得,
设,则
,得
,
所以;
由直线l1与l2垂直,可设l1的方程为,即
圆心到l1的距离
,又圆的半径
,
所以,
,
由即
,得
,
,
设,则
,
,
当且仅当即
时,取“=”,
所以△ABC的面积的取值范围是.
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【题目】
已知双曲线设过点
的直线l的方向向量
(1) 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;
(2) 证明:当>
时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为
.
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【题目】p:关于x的方程无解,q:
(
)
(1)若时,“
”为真命题,“
”为假命题,求实数a的取值范围.
(2)当命题“若p,则q”为真命题,“若q,则p”为假命题时,求实数m的取值范围.
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【题目】设椭圆的右顶点为
,上顶点为
.已知椭圆的离心率为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线:
与椭圆交于
,
两点,且点
在第二象限.
与
延长线交于点
,若
的面积是
面积的3倍,求
的值.
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【题目】中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔(单位:分钟)满足
,
,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔
相关:当
时高铁为满载状态,载客量为1000人;当
时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与
成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为
分钟时,高铁载客量为
.
(1)求的表达式;
(2)若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益
(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益
最大?
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【题目】(1)若等比数列的前n项和为
,求实数a的值;
(2)对于非常数数列有下面的结论:若数列
为等比数列,则该数列的前n项和为
(
为常数).写出它的逆命题并判断真假,请说明理由;
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【题目】2020年2月,全国掀起了“停课不停学”的热潮,各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度,研究人员随机调查了相同数量的男、女学生,发现有的男生喜欢网络课程,有
的女生不喜欢网络课程,且有
的把握但没有
的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关,则被调查的男、女学生总数量可能为( )
附:,其中
.
k |
A.130B.190C.240D.250
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