Question

20．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M（3，y₀）满足|MF|=4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若圆N：（x-4）²+y²=0的切线l₁与抛物线相交于A，B两点，直线l₁的平行线l₂与抛物线C相切于点P，求△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）先表示出△PAB面积，再换元，求出△PAB面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线C上点M（3，y₀）满足|MF|=4，
∴3+$\frac{p}{2}$=2，
∴p=2，…（4分）
故抛物线C的方程为y²=4x；…（5分）
（Ⅱ）设l₁：x=my+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由l₁与圆N相切得$\frac{|4-n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=3，
∴m²=$\frac{{n}^{2}-8n+7}{9}$…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得y²-4my-4n=0
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{{m}^{2}+n}$…（10分）
不妨设l₂：x=my+t，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+t\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4my-4t=0
∵直线l₂与抛物线相切，
∴△=16m²+16t=0，
∴t=-m²，
∴l₂：x=my-m²    
∴l₁与l₂的距离为d=$\frac{|{m}^{2}+n|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$ …（12分）
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=2$\sqrt{{m}^{2}+n}$•|m²+n|
设u=$\sqrt{{m}^{2}+n}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{{n}^{2}+n+7}$=$\frac{1}{3}\sqrt{（n+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{27}{4}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴S_△PAB=2u³$≥2×{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
当n=-$\frac{1}{2}$时，△PAB面积的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$． …（15分）

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．