Question

8．双曲线E与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1有相同焦点，且以E的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积为π，则E的离心率为（　　）

• A． e=$\sqrt{2}$
• B． e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． e=$\frac{\sqrt{30}}{5}$
• D． e=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点，可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），运用直线和圆相切的条件：d=r，以及点到直线的距离公式，结合双曲线的a，b，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦点为（-$\sqrt{6}$，0），（$\sqrt{6}$，0），
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
可得c=$\sqrt{6}$，
可设焦点（$\sqrt{6}$，0）到双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为d，
则d=$\frac{|\sqrt{6}b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
化为a²=5b²，又a²+b²=6，
解得a=$\sqrt{5}$，b=1，
则双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用椭圆的焦点和双曲线的渐近线方程，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．