Question

12．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{5}$，左、右交点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且满足|OP|=|OF₂|（O为坐标原点），则|PF₁|：|PF₂|等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$：1
• B． $\sqrt{3}$：1
• C． 2：1
• D． $\sqrt{6}$：2

Answer 1

分析 运用双曲线的离心率的公式可得c=$\sqrt{5}$a，再求得b=2a，由|OP|=|OF₂|可得PF₁⊥PF₂，运用双曲线的定义和勾股定理，解方程可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，进而得到所求的比．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，即c=$\sqrt{5}$a，
可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2a，
由|OP|=|OF₂|可得PF₁⊥PF₂，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，①
由勾股定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，②
由①②解得|PF₁|=$\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}$+a=4a，
|PF₂|=$\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}$-a=2a，
可得|PF₁|：|PF₂|=2：1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，以及勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．